纳米尺度特征的热成像：论文精译（中）

热组件的建模

如图5所示，热网络可以被视为一系列集总电阻和电容模型的串联，每个集总组件的时间常数τ = R × C，其中C为热容，R为热阻。只要这些时间常数彼此之间足够分离，热网络电路可以类比为一个电气RC电路，作为福斯特（Foster）梯形而非考尔（Cauer）梯形。福斯特梯形（式1）由每个电阻和电容并联组成一个组件，然后这些组件串联连接。福斯特梯形更容易对热网络进行建模，而后者则反映了热容组件的物理连接。

其中，θ表示温度变化，t表示时间，τ表示第 i个组件的时间常数。图4展示了一个仿真示例，说明了由于芯片接触差异而导致的瞬态响应差异，而其他组件完全相同。上部曲线由于干接触造成的不良接触而具有更高的热阻，下部曲线由于使用了热膏，通过填充微观空隙提供了更好的接触，因此具有较低的热阻。

更精确的瞬态响应建模将有助于在达到稳态时准确识别每个电阻组件。对于时间上有更多重叠的更复杂系统，可以通过使用RC积分的分解方法来找到累积结构函数。这种分解可以通过使用时间响应函数等数学方法完成，例如参考文献 [7]。

图5展示了模拟的时间响应。该模型假设热阻分别为：芯片 5.1 [K/W]、铜钼载体 10.5 [K/W]、散热器 8 [K/W]。对于干接触（使用真空吸盘）的热阻为 5 [K/W]，而带有膏状材料接触的热阻为 2.7 [K/W]，其中膏状材料的界面热阻为 0.1 [K/W]

亚衍射成像

上述纳米特征要求温度场的空间分辨率达到100纳米以下，而可见光的波长大于360纳米。根据瑞利分辨率准则，两个点状物体可以在距离D（从点源的半径）处被分辨，该距离D由下式给出 [8]：D=1.22λ/sin⁡(α)

这里，$N$ 是物镜的f数，而 λ 是从表面反射回来的光的波长。$N$ 大约等于$1/(2\times \text{N.A.})$，其中 N.A. 是透镜的数值孔径。式 (2) 通常被称为衍射极限。

我们正在测量一个比距离 $D$ 小的器件宽度。因此，这是一个亚衍射极限特征。这个系数来自于从点源发出的能量谱作为距离的函数。图6中的艾里盘确定了能量谱在贝塞尔函数轮廓中为零的距离极限，这是以点源为中心的距离函数 [9]。这个能量轮廓在艾里盘内可以用高斯轮廓近似拟合，其系数为 2.44，这便于进一步的数学处理。从点源沿距离的能量谱可以描述为：

E(r)=E0f(r)

其中：

• $E(r)$ 是距离点源 $r$ 处的能量强度；
• E0​ 是最大能量强度；
• $f(r)$ 是随距离 $r$ 变化的函数，这里可以用高斯函数近似。

图6展示了热源与成像系统的相对位置。热源的宽度远小于成像像素的尺寸以及艾里盘的直径，这意味着需要使用亚衍射成像技术才能实现足够的空间分辨率来准确捕捉热源的温度分布。此外，加热线与像素行的平行但不对齐意味着热源的图像可能会跨越多个像素，从而影响成像质量。一般情况下，线热源可以通过二维对称性（均匀热扩散）来估算。在截面平面中，基底中的热扩散作为时间的函数可以用无限半空间中的Bessel函数来表示。我们可以根据Yovanovich的方法使用闭式解 [10]。因此，点源的集成，它们各自具有依赖于局部温度的反射能量谱，最终成为光子能量谱。最后，这一强度谱被映射到成像器中的成像像素上，并进行数学计算。通过将反射强度与无限分辨率下的强度进行比较，最终可以找到热反射系数。光学CCD图像比较图7展示了1微米和100纳米线热源装置之间的光学CCD图像比较。1微米线热源清晰可见，而100纳米线在530纳米波长的照明下模糊且难以识别。数值热模拟结果图8展示了偏置条件下的数值热模拟结果。图8a显示了使用有限元方法计算的真实温度分布。图8b是一个过滤后的结果，使用了艾里盘内的高斯函数（系数为2.44，半径为353纳米）。这张图像代表了我们期望通过特定光学系统获得的图像，并与图8c中显示的实际图像进行了比较。区域远小于芯片的尺寸，热膨胀会在XY平面上以及沿深度方向引起显著的位移，这会妨碍准确获取正确的热信息。为此，使用了一个三维压电阶段控制器来稳定视野中的聚焦位置。逐像素地获取热反射系数使得可以从目标位置精确地重新检测到光强度，参见 Ref [6]。